``Formazione di grandi strutture nell'universo e fisica dei sistemi con interazioni a lunga portata''


Obiettivo del corso

Nella trattazione dei sistemi fisici in natura vi e' una distinzione fondamentale tra quelli in cui le interazioni tra i componenti fondamentali (ad esempio particelle) sono a corta o a lunga portata. A differenza dal primo caso, nel secondo l'accoppiamento di ogni particella con tutte le altre del sistema deve essere preso in considerazione. Questa situazione da' luogo ad una considerevole complessita' nella trattazione dei sistemi con interazioni a lunga portata, in confronto con quello che avviene per sistemi con interazioni a corta portata. Infatti i concetti e gli strumenti basilari della meccanica statistica dei sistemi in equilibrio non possono essere semplicemente estesi alla trattazione di sistemi con interazioni a lunga portata. Queste problematiche sono state affrontate soprattutto nell'ambito dell'astrofisica e della cosmologia e solo recenemente, sono stati identificati vari sistemi in laboratorio caratterizzati da questo tipo di interazione. Lo scopo del corso e' di fornire una preparazione di base alla dinamica di un sistem di particelle auto-gravitanti, con particolare attenzione al problema della formazione delle strutture in cosmologia e ai problemi generali inerenti alla fisica dei sistemi con interazioni a lunga portata. Si approfondiranno diversi temi, alcuni riguardanti le proprieta' fondamentali di un sistema autogravitante e la loro centralita' nello studio di sistemi con interazioni a lunga portata in meccanica statistica ed altri temi che hanno una motiviazione ed un interesse astrofisico, come in particolare la formazione di strutture in cosmologia. Si toccheranno dunque sia problemi classici che problemi di fronteria su cui si svolgono attualmente le ricerche nel campo. Si suppone che lo studente non abbia conoscenze specifiche sul problema delle formazione di strutture in cosmologia ne' sul problema della meccanica statistica dei sistemi con interazioni a lungo raggio. Di entrambi i soggetti si dara' una introduzione. Si prevede di fornire agli studenti delle dispense.

Programma del corso

1. Introduzione al calcolo vettoriale: Formalismo, vettori, sistemi di coordinate cuvilinei, calcolo vettoriale

2. Introduzione alla meccanica: Particella singola. sistema di particelle, coppia di particelle isolate, coordinate generalizzate, principio di minima azione, equazioni di Lagrange, leggi di conservazione, dinamica Hamiltoniana, trasformazioni canoniche, teorema di Liouville.

3 Elementi di teoria potenziale per sistemi auto-gravitanti: Forza newtoniana e potenziale per una distribuzione continua di massa, energia potenziale gravitazionale, potenziale gravitazionale per sistemi semplici, tensore energia potenziale.

4 Meccanica statistica dell'equilibrio, termodinamica e sistemi auto-gravitanti: Sistemi ed ensembles, teorema di Liouville, ensemble Microcanonico, Entropia e temperatura, il paradosso di Gibbs, l'ensemble canonico, calore specifico, teorema del viriale, risultati standard sui sistemi auto-gravitanti, l'ipotesi ergodica, definizione dei sistemi con interazine a lunga portata.

5 Elementi fondamentali della dinamica dei sistemi auto-gravitanti: Caratteristiche fondamentali della gravitazione, rilassamento a due corpi, collisioni a due corpi, effetto integrato delle collisioni a due corpi, tempo di rilassamento a due corpi, velocita' di fuga, esempi astrofisici di sistemi collisionali e non collisionali. Approccio all'equlibrio in sistemi auto-gravitanti, descrizione dell'evoluzione dinamica,
equazione di Boltzmann, equazione di Vlasov equation, equazioni di un fluido auto-gravitante, equazione di Jeans, la gerarchia BBGKY, la teoria Lagrangiana, teoria delle perturbazioni, instabilita' di Jeans.

6 Dinamica di sistemi finiti auto-gravitanti: Collasso sferico freddo, evoluzione di una nube sferica di particelle non correlate, ruolo delle fluttuazioni, evoluzione nel regime lineare, collasso sferico perturbato, predizioni per lo scaling, dipendenza dal numero di punti dell'energia espulsa e del profilo di densita'.

7 Distribuzione della forza gravitazionale in sistemi puntiformi stocastici: distribuzioni di massa uniformi e correlate, medie spaziali ed ergodicita', omogeneita' e scale di omogeneita', funzioni di correlazione, funzione caratteristica, lunghezza di correlazione, processi puntuali spaziali con correlazione, distribuzione dei primi vicini, campi continui stocastici Gaussiani, leggi a potenza ed auto-similarita', funzione di massa e distribuzione di probabilita', il "random walk" ed il teorema del limite centrale, lo spettro di potenza, classificazione dei campi stocastici stazionari, distribuzioni di massa super-omogenei, frattali, la dimensione metrica, la denssita' condizionale, la densita' condizinale a due punti, la varianza condizionale, correzione allo scaling, frattali con crossover all'omogeneita', distribuzione di probabilita' delle fluttuazioni di massa, multifrattali e d distribzuini di massa, multifrattali deterministici e stocasstici, spettro multifrattale, la distribuzione della forza gravitazionale in distribuzioni di particelle stocastiche, distribuzioni della forza gravitazionale dei primi vicini, distribuzione della forza gravitazionale in una distribuzione di particelle non correlate o debolmente correlate, cenni sulla distribuzione dela forza gravitazionale in una distribuzione frattale di particelle.

8 Dinamica di sistemi auto-gravitanti infiniti e formazione di strutture in cosmologia: Descrizione qualitativa dell'evoluzione, il problema gravitazionale di un sistema infinito, la gravita' Newtoniana in un volume infinito, forza dovuta al campo medio, forza dovuta alle fluttuazioni, relazione al caso di un universo in espansione, relazione al limite continuo, evoluzione di un sistema super-uniforme, effetti di discretizzazione e limite di Vlasov-Poisson, strutture non lineari e stati quasi stazionari.

9 Sistemi auto-gravitanti nell'universo: ammassi globulari, galassie, ammassi di galassie, strutture a larga scala.

Bibliografia

- "Physics of self-gravitating systems and formation of large scale structures in the universe", F. Sylos Labini, 2008

- "Galactic Dynamics'', J. Binney and S. Tremaine, Princeton Series in Astrophysics, Princeton University Press, 1994

- ``The distribution of the galaxies'', W.C. Saslaw, Cambridge University Press, 2000

- ``Dynamics and Thermodynamics of Systems with Long-Range interactions'', T. Dauxois, S. Ruffo, E Arimondo, M. Wilkens,
Lecture Notes in Physics, Springer 2002

- ``Statistical Physics for Cosmic Structures'', A. Gabrielli, F. Sylos Labini, M. Joyce and L. Pietronero, Springer 2005

 

Didattica del Corso

Lezioni in aula

Metodo di valutazione

Esami orali, tesine intermedie.

Orario e luogo di ricevimento studenti

Martedi' 17-19 presso il Dipartimento di Matematica e Fisica, Via Musei 41 Brescia




Teaching

``Formation of large scale structure in the universe and systems with long-range interactions''

Aim

In the treatment of physical systems there is a fundamental distinction between those in which interactions among fundamental constituents (i.e. particles) are short or long ranged. In the former case, differently from the latter one, the coupling of each particle with all other system particles must be considered. This situation gives rise to a notable complexity in the treatment of systems with long-range interactions when compared with what happens in systems where interactions are short ranged. Indeed the basic concepts and instruments of equilibrium statistical mechanics cannot be simply applied to systems with long-range interactions. This kind of situation was firstly studied in the context of astrophysics and cosmology where the interaction was the gravitational one, and only recently there have been identified laboratory systems with other kind of long-range interactions. The aim of the course is to provide a basic knowledge on the dynamics and thermodynamics properties of a self-gravitating gas of particles. It will be touched then the problem of cosmological structure formation and the problems related to the general physical properties of systems with long-range interactions.

Program

1. Brief review of vector calculus: Formalism, Vectors, Curvilinear coordinate systems, Vector calculus

2. Brief review of Mechanics: Single particle, System of particles, Isolated two body system, Generalized coordinates, Principle of least action, Lagrange’s Equations, Conservation laws, Hamiltonian Dynamics, Poisson’s parenthesis, Action as a function of coordinates, Canonical Transformations, Liouville’s Theorem

3 Elements of Potential Theory for gravitating systems: Newtonian force and potential for a continuous distribution of mass, Gravitational potential energy, Spherical systems, Potential for simple systems, Potential energy tensor

4 Equilibrium statistical mechanics, thermodynamics and self-gravitating systems: Systems and ensembles, Liouville’s Theorem, The Microcanonical ensemble, Entropy and temperature, The Gibbs paradox, The canonical ensemble, Specific heat, Virial theorem, Standard results on self-gravitating systems, The ergodic hypothesis, Conserved quantities and ergodicity, Definition of systems with long range interactions

5 Basic features of the dynamics of self-gravitating systems: The long-range features of gravitation, isotropy and small scale fluctuations, Two-body relaxation, Two-body weak scattering, Integrated effect of two-body scatterings, Two-body relaxation time, Escape velocity, Collisional and non-collisional systems, Approach to equilibrium in gravitating systems, Description of the dynamical evolution, Boltzmann equation, Vlasov equation, Fluid equations, Jeans equation for a spherically symmetric system, The BBGKY hierarchy, Lagrangian theory, Perturbation theory, The Jeans instability, Linear fluid equations, Linear Lagrangian theory, Dynamical time

6 Dynamics of finite self-gravitating systems: Spherical cold collapse in finite systems, Evolution of the Poisson simulation, Role of fluctuations, Evolution of fluctuations in the linear regime, Perturbed spherical collapse, Predictions for scalings, N dependence of global quantities, N dependence of ejected energy, N dependence of density profiles.

7 Gravitational force distributions in stochatic particle distributions: Uniform and correlated mass density fields, Spatial averages and ergodicity, Homogeneity and homogeneity scale, Correlation functions, Characteristic function and cumulants expansion, Correlation length, Poisson point process, Stochastic point processes with spatial correlations, Nearest neighbor probability density in point processes, Gaussian continuous stochastic fields, Power-laws and self-similarity, Mass function and probability distribution, The random walk and the central limit theorem, The power spectrum and the classification of stationary stochastic fields, The power spectrum for the Poisson point process, The power spectrum and the mass variance: a complete classification, Super-homogeneous mass density fields, Fractals, The metric dimension, Conditional density, The two-point conditional density, The conditional variance, Correction to scaling, Fractal with a crossover to homogeneity, Correlation, fractals and clustering, Probability distribution of mass fluctuations in a fractal, Multifractals and mass distributions, Deterministic Multifractals, The multifractal spectrum, Random multifractals, The gravitational field in stochastic particle distributions, Nearest neighbor force distribution, Gravitational force distribution in a Poisson particle distribution, Gravitational force in weakly correlated particle distributions, Generalization of the Holtzmark distribution to the Gauss-Poisson case, Gravitational force in fractal point distributions

8 Infinite self-gravitating systems and cosmological structure formation: Qualitative description, The infinite gravitational many-body problem, Newtonian gravity in the infinite volume limit, Force due to mean density, Force due to fluctuations, Relation to expanding universe case, Relation to other N → ∞ limits, Evolution from Shuffled Lattice initial conditions, Particle linear theory, Discreteness effects and the Vlasov-Poisson limit, Non-linear structures and quasi-stationary states

9 Self-gravitating systems in the universe: globular clusters, galaxies, galaxy clusters and galaxy large scale structures.

 

References

- "Physics of self-gravitating systems and formation of large scale structures in the universe", F. Sylos Labini, 2008

- "Galactic Dynamics'', J. Binney and S. Tremaine, Princeton Series in Astrophysics, Princeton University Press, 1994

- ``The distribution of the galaxies'', W.C. Saslaw, Cambridge University Press, 2000

- ``Dynamics and Thermodynamics of Systems with Long-Range interactions'', T. Dauxois, S. Ruffo, E Arimondo, M. Wilkens, Lecture Notes in Physics, Springer 2002

- ``Statistical Physics for Cosmic Structures'', A. Gabrielli, F. Sylos Labini, M. Joyce and L. Pietronero, Springer 2005

Methods of teaching: lectures (two days a weak, two hours a day)

Methods of evaluation: oral exam and intermediate short projects